Relatività

Ovviamente…work in progress :)

Colori Gruppo:

Alessia

Giulia Casaldi
Luca
Federico

Indice:

1. Cos'è la relatività?
2. Relatività galileiana
3. Albert Einstein
4. La relatività ristretta
5. La relatività generale
6. Cosine interessanti

Cos'è la relatività?

La relatività di Einstein costituisce uno dei fondamenti non solo della fisica ma anche di tutto il pensiero scientifico del secolo XX.
In fisica col termine relatività si fa riferimento alle trasformazioni matematiche che devono essere applicate alle descrizioni dei fenomeni nel passaggio tra due sistemi di riferimento in moto relativo.
L’espressione teoria della relatività è usata per riferirsi alla teoria che Einstein ha elaborato tra il1905 e il 1913. Questa teoria, che ha rivoluzionato il nostro modo di concepire concetti fondamentali come lo spazio, il tempo, la materia e l’energia, si deve al lavoro di ricerca teorica dello scienziato più importante del XX secolo.
Per chiarire il concetto di relatività è necessario partire dalle leggi della meccanica classica, sviluppate da Galilei e Newton che consistono in relazioni tra grandezze diverse (velocità,accelerazione, energia) che caratterizzano il comportamento dei corpi stessi.
In generale, ogni legge della meccanica si può scrivere in modo da evidenziare la relazione tra le grandezze fisiche coinvolte e le coordinate spaziali (che indichiamo con x,y,z) e quella temporale t f = f (x,y,z,t) . Per esempio f(x,y,z,t)= m x a (x,y,z,t).
Se le leggi della meccanica dipendono dalla posizione spaziale e temporale del corpo , è necessario fissare un sistema di riferimento a cui si associano uno strumento di misura della lunghezza e uno strumento di misura del tempo.
Galileo enuncia così il principio di relatività: le leggi della meccanica per sistemi di riferimento che si muovono di moto rettilineo uniforme gli uni rispetto agli altri, hanno la stessa forma.
Newton introdusse come sistema di riferimento quello delle stelle fisse, un sistema con l’origine nel sole e tre assi puntati verso le stelle fisse. Tutti i sistemi riferiti a quello delle stelle fisse o in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso, si chiamano sistemi inerziali. Si dice inerziale se nel sistema valgono le regole della geometria euclidea e se in esso è possibile stabilire un tempo universale rispetto al quale ogni corpo libero da forze sia soggetto al principio di inerzia.
Nella fisica prerelativistica le due principali ipotesi che si ammettevano erano le seguenti:
1. Esistenza di un tempo assoluto. Si suppone cioè che sia possibile regolare gli orologi , che nei vari sistemi inerziali misurano il tempo, in modo che il valore di questo sia lo stesso in ogni sistema.
2. Reciprocità del moto. La descrizione dei fenomeni deve risultare la stessa sia che si supponga il sistema S’ in moto con la velocità w rispetto a S, sia che si supponga S in moto rispetto a S’ con velocità –w.

Le formule di trasformazione Galileiane nel caso in cui il moto avvenga nella direzione dell’asse x sono: x = x’ + wt ; y = y’ ; z = z’; t = t’
Da esse conseguono due importanti proprietà

1 La lunghezza di un segmento è un invariante
2 Vale la composizione della velocità

Le leggi di Newton rispetto a una trasformazione galileiana sono invarianti, cioè non solo mantengono la forma ma rimangono invariate passando da un sistema all’altro per mezzo di una trasformazione galileiana. Il principio di relatività galileiana vale per le forze posizionali ma per la forza di Lorentz non vale tale principio. Nè vale per le leggi dell’ elettromagnetismo. La ragione di ciò veniva attribuita al fatto che tali forze descrivono delle proprietà elettromagnetiche e le leggi dell’elettromagnetismo si ritenevano valide non in tutti i sistemi inerziali ma solo in un particolare sistema di riferimento collegato a un ipotetico mezzo, riempiente tutto lo spazio, denominato etere. Einstein rivolse la sua critica alle formule di trasformazione di Galileo e alle ipotesi sulle quali queste erano fondate arrivando alla conclusione che era proprio l’esistenza di un tempo assoluto che doveva essere abbandonata. Osservò infatti che le contraddizioni incontrate nei diversi esperimenti fatti per mettere in evidenza il moto dei corpi rispetto all’etere, potevano essere superate se anziché l’ipotesi dell’esistenza di un tempo assoluto si assumeva la seguente( detta della costanza della velocità della luce): i segnali luminosi nel vuoto si propagano rettilineamente, con la stessa velocità costante c a ogni istante, in tutte le direzioni, in tutti i sistemi inerziali.

Relatività galileiana

La relatività galileiana è un principio di relatività che afferma che le leggi della fisica sono sempre della stessa forma nei sistemi di riferimento inerziali. Ovvero tutti i sistema di riferimento inerziali sono fisicamente equivalenti. Ovvero non è possibile all'interno di un sistema di riferimento inerziale effettuare alcun esperimento che ne riveli il moto.

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali (K e K') di cui K' si muove con velocità costante V rispetto a K. Ciascun sistema possiede un regolo per misurare le lunghezze ed un orologio per misurare il tempo solidali con esso. Supponiamo che gli assi coordinati siano paralleli fra loro e che gli assi x e x' coincidano. Ovviamente non deve esserci nessuna rotazione:

Supponiamo che i due regoli ed i due orologi siano identici ed i due orologi misurino il tempo senza errori. Supponiamo che in un certo istante i due sistemi coincidano (O = O') ed in quell'istante gli orologi vengano sincronizzati ed azzerati (t = t' = 0).

Consideriamo ad un certo istante t un punto P dello spazio. Rispetto a K esso ha le coordinate P(x,y,z). Rispetto a K' esso ha le coordinate P'(x',y',z').

Facciamo l'ipotesi che il tempo scorra in maniera identica nei due orologi, così come l'esperienza comune ci insegna, per cui t = t'.

Poichè nel tempo t il sistema K' compie uno spostamento Vt rispetto a K, le relazioni matematiche fra le coordinate (x,y,z) e (x',y',z') sono:

Queste relazioni sono chiamate le trasformate di Galileo ed esprimono come sono legate matematicamente le coordinate ed il tempo rispetto a due sistemi di riferimento inerziali in moto uniforme uno rispetto all'altro, partendo dal presupposto che il tempo sia assoluto, cioè indipendente dai sistemi di riferimento.

Una importante conseguenza delle trasformate di Galileo è la sommabilità delle velocità: se P si muove con velocità w rispetto a K', esso verrà visto muoversi da K con velocità V + w.

Matematicamente ciò si deduce facendo la derivata prima delle trasformate di Galileo
rispetto al tempo:

Se il punto P si muove rispetto a K' di moto accelerato, esso verrà visto muoversi rispetto a K con la stessa accelerazione. Da ciò si deduce che le accelerazioni sono assolute.

Matematicamente ciò si verifica facendo la derivata seconda delle trasformate di Galileo rispetto al tempo:

Poichè l'accelerazione è proporzionale alla forza (2' legge della dinamica, F=ma) e l'accelerazione è la stessa nei due sistemi di riferimento inerziali, si verifica così il principio di RGal : le leggi della fisica devono essere identiche in tutti i sistemi di riferimento inerziali.

Albert Einstein

«Una cosa ho imparato nel corso della mia lunga vita: che tutta la nostra scienza, se paragonata alla realtà, è primitiva e infantile…eppure è il bene più prezioso di cui disponiamo»

Albert Einstein, nasce il 14 marzo del 1879 a Ulm, in Germania, da genitori ebrei non praticanti. Sembra strano ma Einstein non fu un bravo scolaro, infatti, sua madre scrivendo ad un’amica diceva: "Non so cosa faremo di Albert, per ora non impara un granché…". Non imparava perché, sin dalle prime classi inferiori, Albert si era rifiutato di studiare a memoria qualsiasi cosa; ciò cui si dedicò con vera passione fu lo studio del violino, un interesse che lo accompagnerà sino alla tarda vecchiaia. Nonostante gli scarsi progressi agli studi, Albert aveva avuto in dono dalla vita una virtù semplice e stimolante: la capacità di "meravigliarsi"; infatti sosteneva che "dietro le cose doveva esserci un ché di profondamente nascosto".
Nel 1889 si iscrisse al Gymnasium di Monaco che non frequentò fino alla fine perché preferì raggiungere la sua famiglia a Milano. Abbandonò la cittadinanza tedesca e si trasferì in Svizzera, dove tentò l’esame per l’ammissione al politecnico di Zurigo, ma fu bocciato per la sua impreparazione in tutte le materie fatta eccezione della matematica. Il preside del politecnico, che intuì le sue particolari doti, gli consigliò di frequentare un corso preparatorio, che gli permise di evitare un nuovo esame di ammissione. Si iscrisse così al Politecnico e per mantenersi durante gli studi aiutava gli studenti meno dotati a preparare gli esami. Al politecnico incontrò Mileva Maritsch, come lui studentessa di matematica e fisica e, contro il volere dei genitori, decisero di sposarsi. Mileva si accorse di essere incinta e ritornò presso la sua famiglia dove nacque una bambina della quale si persero presto le tracce e che probabilmente morì nella prima infanzia. Tornata a Zurigo Mileva non riuscì a superare gli esami finali. Einstein dopo il diploma non ottenne il posto di assistente che gli era stato offerto per via di alcune divergenze con un professore di Zurigo. Per circa due anni si adattò a fare diversi lavori come quello di precettore, che gli risultò particolarmente odioso.
Nel 1902, grazie ad una raccomandazione, riuscì a trovare un impiego stabile all’Ufficio Brevetti di Berna. Sembra strano che un grande scienziato come Einstein svolse un lavoro così inadeguato alle sue capacità , ma lui stesso sosteneva che se avesse avuto un posto all’Università non si sarebbe potuto dedicare appieno alla ricerca. In questo periodo infatti maturarono in lui le idee che rivoluzionarono le leggi della fisica classica.
Nel 1905 pubblicò quattro scritti di fondamentale importanza, fra cui uno sull’elettrodinamica dei corpi in movimento. Nello stesso anno ottenne la libera docenza all’Università di Berna e nel 1909 fu nominato professore di fisica teorica presso l’Università di Zurigo; l’anno successivo fu chiamato alla medesima cattedra presso l’Università di Praga e nel 1913 si trasferì a Berlino, ricoprendo la cattedra di fisica all’Accademia Prussiana delle Scienze. Costretto dalle persecuzioni antisemite naziste nel 1933 Einstein si trasferì negli Stati Uniti dove divenne professore all’Institute for Advanced Studies di Princeton, assumendo nel 1941 la cittadinanza Americana.
Nel 1945 si ritirò dall’attività accademica; in questo periodo si dedicò al tentativo di elaborare una teoria unitaria generale del campo che unificasse la teoria del campo elettromagnetico e di quello gravitazionale. Benché questo sforzo di elaborazione teorica non giunse a risultati conclusivi, esso resta un punto basilare di riferimento per la scienza e la filosofia e uno dei punti più alti raggiunti dal pensiero scientifico di tutti i tempi. Morì alle 7.15 del mattino del 18 Aprile 1955 all’ospedale di Princeton.

Le date importanti per Einstein e per la scoperta del mondo

17 Marzo 1905: teoria dei quanti di luce - effetto fotoelettrico
11 Maggio 1905: moto browniano delle molecole
30 Giugno 1905: primo lavoro sulla relatività speciale
27 settembre 1905: secondo lavoro sulla relatività (E=mc2)
11 Dicembre 1905: secondo lavoro sul moto browniano
1915 Completamento della relatività generale
1917 Spiegazione del legame che esiste tra la legge di Bohr e la formula di Planck dell'irraggiamento del corpo nero
1917 Introduzione della nozione di emissione stimolata, applicata alla invenzione del laser.
1919 Pubblicazione della teoria sulla relatività generale
1919 L'eclisse di sole dà la conferma sperimentale della curvatura della luce
1933 Comincia la discussione sui fondamenti della meccanica quantistica

La relatività ristretta

Chiunque, nella propria vita, è incappato almeno una volta nella formula della relatività ristretta, senza nemmeno sapere a cosa si riferisse. Distorta, è stata persino protagonista di uno spot di Italia 1 degli anni '90…ma cosa significa?
E = mc² è un'equazione fisica che stabilisce una relazione tra l'energia (E) e la massa (m) di un sistema fisico.
Prima di entrare nel dettaglio della formula, però, diamo uno sguardo più generale alla teoria.

Teoria della relatività speciale o ristretta

Nel 1905 Einstein pubblicò un articolo che rappresenta una delle pietre miliari della fisica moderna. In esso egli espose ed ordinò tutte le idee riguardo a spazio e tempo alla luce delle caratteristiche del campo elettromagnetico organizzando tutta la vasta materia in una teoria completa, semplice e dalle implicazioni assolutamente innovative.
Egli enunciò in quell'articolo il principio di relatività ristretta estendendo di fatto la relatività galileiana ai fenomeni elettromagnetici.

Circa a metà '800, Maxwell riuscì a descrivere tutti i fenomeni elettromagnetici in sole 4 equazioni. Da esse risultò che la luce (e ogni altro tipo di radiazione elettromagnetica) si propaga nel vuoto con velocità c pari a circa 300.000 km/sec.

Consideriamo allora un raggio di luce emesso da K' nella direzione parallela al verso positivo dell'asse x. Rispetto a K' la luce viaggia alla velocità c mentre rispetto a K la stessa luce dovrebbe viaggiare alla velocità c + V. Se la luce venisse emessa nel verso contrario al precedente, la velocità della luce rispetto a K dovrebbe essere c - V.

Questa supposizione appare ovvia nell'ambito delle idee di spazio, tempo e movimento che ci siamo formati nella vita pratica. In effetti, essendo la velocità della luce estremamente alta rispetto alle velocità usuali dell'esperienza quotidiana, c + V è praticamente uguale a c, per cui non riusciamo normalmente a distinguere la differenza fra c, c + V e c - V.

E' solo con esperimenti molto accurati che si possono valutare queste differenze e verso la fine dell' '800 ne fu fatto uno particolarmente accurato e preciso (l'esperimento Michelson e Morley del 1881) che non portò ad alcun risultato. La velocità della luce appare la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali e non si verifica nessun aumento o diminuzione della medesima.

La luce si comporta in modo contrario alle usuali idee di movimento e di questo bisogna prenderne semplicemente atto. Siamo di fronte ad un nuovo principio naturale : il principio della costanza della velocità della luce.

Questo principio può apparire assurdo secondo le nostre idee comuni ma nessun esperimento è mai riuscito fino ad oggi a contraddirlo. Alla luce di questo non ci rimane altro da fare che modificare, correggere le nostre idee di spazio, tempo e movimento.

Nel 1905 Einstein pubblicò un articolo in cui descriveva come queste idee devono essere modificate. Egli espose il principio di Relatività Ristretta (RR) come una modificazione del precedente principio di Relatività Galileiana con l'aggiunta del principio di costanza della velocità della luce.
Le leggi della fisica devono essere le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali per i quali, di conseguenza, lo spazio ed il tempo hanno proprietà diverse da quelle dettate dal senso comune.

Spazio-tempo 4-dimensionale.

Secondo Einstein non si deve più considerare lo spazio ed il tempo come entità assolute, separate. Al contrario, spazio e tempo fanno parte di una unica realtà, lo spazio-tempo 4-dimensionale.

Passando da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, lo spazio ed il tempo cambiano di conseguenza. In particolare i due orologi di K e K' non segnano più lo stesso tempo, bensì ciascuno il proprio. Un punto, quindi, è descrivibile rispetto a K da 4 numeri (coordinate) :
x, y, z che ne determinano la posizione nello spazio rispetto a K e t che ne determina la posizione nel tempo (sempre rispetto all'orologio solidale con K). Analogamente il punto P avrà rispetto a K' le coordinate : x', y', z', t' dove t è diverso da t'.

Un punto in movimento descrive nello spazio-tempo 4-dimensionale una linea continua detta linea d'universo.

Le relazioni matematiche che legano le coordinate in K e K' alla luce della Relatività Ristretta si chiamano trasformate di Lorentz (mentre quelle che legano K e K' nell'ambito della Relatività Galileiana, si chiamano semplicemente trasformate di Galileo).

Le trasformate di Lorentz portano ad alcuni risultati assolutamente imprevedibili e rivoluzionari rispetto ai precedenti concetti fisici: un segmento in quiete rispetto a K' viene visto da K accorciato di una quantità legata alla velocità relativa fra K e K'. Se la velocità relativa tende a c, il segmento viene visto lungo 0. Viceversa, un intervallo di tempo misurato in K' viene visto in K durare di più in funzione della velocità relativa fra K e K'. Se questa velocità tende a c, la durata misurata in K tende all'infinito.

La contrazione degli intervalli e la dilatazione dei tempi sono la conseguenza più importante della teoria della Relatività Ristretta. Da essa si deduce anche il fatto fondamentale che la velocità della luce non può essere superata, essa rappresenta la velocità limite della natura.

Dalla teoria della Relatività Ristretta (e dalle trasformate di Lorentz che ne sono la sintesi matematica) si deduce anche che le velocità non si sommano semplicemente, ma lo si fa con una formula tale per cui combinando c con V si ottiene semplicemente c come deve essere secondo il principio di costanza della velocità della luce.

Paradosso dei gemelli.

La dilatazione relativistica del tempo ci porta ad alcune considerazioni molto interessanti.

Consideriamo un semplice esperimento ideale. Ci sono due gemelli (li chiameremo K e K'). Un giorno K' intraprende un viaggio spaziale a velocità prossima a quella della luce. Supponiamo che per K' il viaggio duri un anno. Per K, invece, a causa della dilatazione dei tempi (che per velocità vicine a c diventa sempre più elevata) il viaggio di K' viene visto durare supponiamo dieci anni. Quando K' ritorna da K, lo vedrà invecchiato di nove anni rispetto a sè stesso.

Questo risultato potrebbe allora portare ad un paradosso, il cosiddetto paradosso dei gemelli, perchè il ragionamento potrebbe essere capovolto (K e K' sono equivalenti in quanto sistemi di riferimento inerziali) per cui, alla fine del viaggio, K dovrebbe vedere K' invecchiato e nello stesso modo K' dovrebbe vedere K invecchiato dello stesso numero di anni.

Il paradosso potrebbe essere usato (nella sua prima parte, cioè relativamente al viaggio di K' rispetto a K) per constatare che K e K' non sono equivalenti, in quanto i due gemelli non sono invecchiati nello stesso modo, per cui il principio di Relatività Ristretta verrebbe contraddetto.

Analizzando meglio questo esperimento ideale si vede però che esso è mal posto, contiene un errore fondamentale di impostazione. K e K' non possono essere entrambi sistemi di riferimento inerziali, dovendo K' subire forti accelerazioni per partire e poi per tornare. Considerando K inerziale, K' non lo è.

Non avendo a che fare con sistemi di riferimento inerziali il paradosso dei gemelli non può mettere in crisi la Relatività Ristretta che si occupa esclusivamente di sistemi di riferimento inerziali.

Questo esperimento ideale, invece, è di competenza della teoria della relatività generale che si occupa appunto di sistemi di riferimento qualunque, in generale accelerati.

Equivalenza massa energia.

Un'altra conseguenza fondamentale della Relatività Ristretta riguarda il concetto stesso di massa ed energia.

Secondo la meccanica classica un corpo in movimento possiede una energia cinetica (di movimento) che si può, per esempio, manifestare quando quel corpo ne urta un altro. Se un corpo è in quiete, invece, la sua energia cinetica è nulla.

Secondo la Relatività Ristretta, invece, un corpo ha energia anche quando è in quiete e questa energia è data dalla notissima formula :

La formula esprime un concetto "filosofico" completamente nuovo e ricco di conseguenze inaspettate (rispetto alla meccanica classica) : esso afferma la totale equivalenza di massa ed energia (a meno della costante moltiplicativa c²). Afferma cioè che massa ed energia sono due aspetti apparentemente diversi di una medesima realtà. La massa può di conseguenza trasformarsi in energia e viceversa e la quantità di energia che si produce trasformando
la massa è enorme perchè m viene moltiplicato per il numero grandissimo 90.000.000.000.000.000.

Simili energie si ottengono nelle reazioni atomiche di fissione (in cui nuclei pesanti tipo l'uranio si rompono generando parti più leggere ed energia dal difetto di massa (reattori nucleari, bombe atomiche)) e di fusione (in cui nuclei leggeri come per esempio il deuterio si fondono formando elio con trasformazione del difetto di massa in energia (stelle, bombe H)).

La relatività generale

Premessa

Dopo la formulazione della teoria della relatività ristretta, Einstein si trovò di fronte a due problemi: se fosse possibile introdurre la gravitazione all’interno di questa teoria e se il primo degli assiomi della relatività ristretta, secondo il quale le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali, potesse essere ampliato a tutti i sistemi di riferimento.

Questi due interrogativi si fusero in uno solo e costituirono l’ossatura della teoria della relatività generale, che supera e completa quella della relatività ristretta.

Punti di partenza per la relatività generale

Per formulare gli assiomi che stanno alla base della relatività generale, Einstein si basò sull’analisi di alcuni esperimenti ideali che avevano come fondamento il fatto che l’accelerazione di gravità dipende solo dalla distanza a cui ci troviamo da un pianeta e dalla sua massa gravitazionale.
Infatti il modulo F della forza di interazione gravitazionale tra un pianeta e un punto materiale, di massa gravitazionale mg e massa inerziale mi, posto a distanza r dal centro del pianeta, è

F = GMg mg/r2

dove Mg è la massa gravitazionale del pianeta e G è la costante di gravitazione universale.

Il secondo principio della dinamica permette di calcolare l’accelerazione del punto materiale dovuta alla forza gravitazionale grazie all’equazione

F = mi a

in cui compare la massa inerziale del punto stesso.

Sostituendo la prima formula nella seconda e ricavando l’accelerazione da quest’ultima, si ottiene

a = G • Mg mg/r2 mi

Poiché sulla base di accurate misure sperimentali il rapporto mg/mi vale 1, sulla base di quest’ultima espressione si ricava che

a = G • Mg/r2

che dimostra come per un valore di r fissato l’accelerazione di gravità a dipende soltanto dalle costanti G e Mg, per cui risulta essa stessa una costante uguale per tutti i corpi.

Esperimenti ideali

Immaginando di trovarsi in un ascensore in caduta libera, dal momento che tutti i corpi interessati cadono con la stessa accelerazione g si subiscono alcuni effetti particolari: infatti un osservatore posto al suo interno non percepirebbe più la pressione sulle piante dei piedi dovuta al proprio peso e non avvertirebbe più neanche il peso di un eventuale oggetto nelle sue mani; lasciandolo andare esso si librerebbe a mezz’aria senza spostarsi rispetto a lui.

La situazione risulterebbe del tutto simile a quella che si vive a bordo di una navicella in orbita intorno alla terra, dove la situazione è simile (tutti i corpi si muovono con la medesima velocità), oppure su di un’astronave che viaggi nello spazio profondo, a distanza enorme da ogni corpo massivo, in modo tale che si possano considerare trascurabili le attrazioni gravitazionali che agiscono su di essa, sebbene in questo caso la situazione fisica sia molto diversa.

Esiste anche un fenomeno complementare a quello appena descritto: se l’astronave lontano da ogni corpo massivo inizia ad accelerare sotto la spinta dei propri motori, tutti i corpi presenti al suo interno (che tendono a conservare il proprio moto rettilineo uniforme per il principio di inerzia) si troveranno spinti verso il fondo.
Risulta quindi possibile, se l’accelerazione dell’astronave e costante, creare al suo interno una forza-peso fittizia che permetta agli astronauti di poggiare i piedi sul pavimento.

Nessuno degli esperimenti precedenti, se compiuto in un locale chiuso, permette allo sperimentatore di capire se si trova in presenza di un campo gravitazionale o all’interno di un mezzo di trasporto che sta accelerando in modo costante.

Relatività generale e sue applicazioni

Partendo dall’analisi di esperimenti ideali come quelli appena presentati, Einstein formulò il principio di equivalenza che stabilisce che, in una zona delimitata dello spazio-tempo, è sempre
possibile scegliere un opportuno sistema di riferimento, in modo da simulare l’esistenza di un dato campo gravitazionale uniforme o, reciprocamente, in modo da eliminare l’effetto della forza di gravità costante.

Esso sta alla base del ragionamento che permise di estendere il principio di relatività ristretta a tutti i sistemi di riferimento; infatti ciò che accade in un sistema di riferimento inerziale avviene, in modo indistinguibile, in un sistema di riferimento che è in caduta libera all’interno di un campo gravitazionale.
Allo stesso modo, ciò che accade in un sistema di riferimento inerziale in presenza della gravità è identico a ciò che avviene in un sistema di riferimento accelerato.

Tutto ciò portò Einstein a porre alla base della sua teoria della gravitazione il principio di relatività generale, secondo il quale le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento.
Con questo principio Einstein non solo superò il primo assioma della relatività ristretta, ma anche quello sulla costanza della velocità della luce. Infatti in un sistema di riferimento inerziale la luce che proviene da una stella si propaga in linea retta, mantenendo la propria velocità costante in direzione, verso e modulo.
Invece in un sistema di riferimento accelerato bisogna comporre il moto della luce visto nel sistema inerziale con quello aggiuntivo (e accelerato) del primo riferimento rispetto al secondo. Di conseguenza la velocità della luce cambia in direzione, e la sua traiettoria appare incurvata.

Il principio di equivalenza ed il principio di relatività generale furono solo i punti di partenza per la teoria della relatività generale di Einstein, che venne completata solo nel 1916, dopo anni di lavoro, la quale si basa su due idee fondamentali:

• La presenza di masse incurva lo spazio-tempo
• I corpi soggetti alla forza di gravità devono essere considerati come particelle libere, che si
muovono seguendo le geodetiche* dello spazio-tempo
*In ogni spazio è possibile determinare le curve di minima lunghezza che uniscono i vari punti. Esse si chiamano curve geodetiche (o più brevemente geodetiche).

Per millenni nessuno ha avuto dubbi sul fatto che la geometria euclidea fosse l’unico spazio esistente e concepibile. In esso si considera valido il quinto postulato di Euclide secondo il quale esiste ed è unica la parallela condotta da un punto esterno a una retta.

Ma nei primi decenni del secolo scorso diversi matematici scoprirono che è possibile ottenere nuove teorie geometriche modificando questo quinto postulato, come per esempio nelle geometrie iperboliche (introdotte da Lobacevskij e da Bolyai) nelle quali per un punto esterno a una retta e possibile condurre infinite rette parallele a quella data; inoltre la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre minore a un angolo piatto; o nella geometria ellittica (introdotta da Rienmann).
Tutto ciò è dimostrato e sistemato in maniera rigorosa nella teoria geometrica generale di Rienmann, in particolare, per ogni spazio si può definire una proprietà intrinseca che si chiama curvatura e gli spazi con geometria ellittica hanno curvatura positiva, mentre quelli con geometria iperbolica hanno curvatura negativa.
Nel complesso tali spazi si dicono curvi, mentre spazi come quello di Euclide o lo spazio-tempo di Minkowski hanno curvatura nulla e si dicono piatti.

Poiché la teoria della relatività ristretta non prende in considerazione l’attrazione gravitazionale tra le masse il suo spazio-tempo è piatto; nella relatività generale, invece, è importante conoscere la distribuzione delle masse nello spazio perché attraverso l’equazione di campo di Einstein si può calcolare qual è la geometria dello spazio.
In generale tale geometria varia da zona a zona: le parti di spazio-tempo più vicine alle masse hanno curvature più accentuate di quelle che si trovano lontane da esse.

La concezione di gravità secondo Einstein risulta quindi del tutto nuova: la presenza di masse incurva la geometria dello spazio-tempo. In esso, le masse stesse si muovono come particelle libere, seguendone le linee di minima lunghezza (geodetiche).
Ogni massa risente soltanto della geometria della zona di spazio-tempo in cui si trova, anche se l’effetto globale può dare l’impressione che esista una forza che agisce su di essa. Se i punti materiali sono soggetti ad altre forze (per esempio di natura elettrica) le loro traiettorie ne risentono:esse non sono più geodetiche ma possono essere calcolate a partire dalla conoscenza delle forze applicate.

Gli effetti della relatività generale si manifestano compiutamente quando sono in gioco grandi
masse, oppure quando si è in presenza di grandi densità di massa. Partendo dall’equazione di campo di Einstein è possibile dimostrare che in un universo “quasi piatto” (come quello nelle vicinanze della Terra, che non ha una massa molto grande) l’effetto della curvatura dello spazio-tempo e sperimentalmente indistinguibile da quella della forza di Newton.

Effetti dello spazio-tempo curvo sulla luce

Come precedentemente notato, la luce, in un sistema di riferimento accelerato, segue una traiettoria curvilinea.
Dato che, per il principio di equivalenza, l’effetto di un sistema di riferimento accelerato è indistinguibile da quello di un campo gravitazionale, possiamo chiederci se la luce possa essere deviata dalla curvatura dello spazio-tempo. Esiste un’altra ragione per porsi tale problema: la luce trasporta energia e, secondo la relatività ristretta, non vi è una vera differenza tra una quantità E di energia e una massa m = E/c²

Anche seguendo questa idea, è naturale chiedersi se la gravità, cioè la curvatura dello spazio-tempo, ha effetti sulla propagazione della luce così come ha effetto sulle masse.
Dal momento che, nelle condizioni sperimentali che sono normali sulla terra, non si è mai osservata la deviazione gravitazionale di un fascio di luce, si deve dedurre che tale fenomeno è difficile da rilevare e si può quindi sperare di metterlo in evidenza soltanto disponendo di un campo gravitazionale particolarmente intenso e nelle “vicinanze” della terra, l’unica scelta possibile e quindi di fare ricorso al campo gravitazionale del Sole.

Nell’ambito della teoria della relatività generale è possibile calcolare la deviazione angolare subita da un raggio di luce che passa rasente alla superficie del Sole. Tale valore è molto piccolo (1,75 secondi d’arco, cioè 1,75 tremilaseicentesimi di grado), ma poteva già essere misurato con le tecnologie che erano a disposizione negli anni intorno al 1920.
La verifica sperimentale di questa ipotesi può essere effettuata in questo modo: in una notte qualunque si può osservare la posizione apparente nel cielo di una stella S rispetto ad altre stelle di riferimento. La stessa stella sarà poi osservata durante una eclissi, quando il Sole è oscurato dalla massa della Luna. La deflessione del Sole è attrattiva; perciò sembrerà che la luce della stella provenga da un punto S΄spostato, rispetto a S, dalla parte opposta rispetto a quella in cui si trova il sole.

Tale verifica sperimentale fu realizzata per la prima volta nel 1919, quando osservazioni di Arthur Eddington durante un'eclisse di Sole confermarono la visibilità di alcune stelle vicine al bordo solare, che in realtà avrebbero dovuto essere invisibili: i fotoni luminosi venivano deviati dal Sole della quantità prevista dalle equazioni. In realtà, essa risultò poi impropria perchè le osservazioni avevano un errore medio dello stesso ordine di grandezza dell'effetto considerato.

Il Redshift gravitazionale

Sempre secondo i ragionamenti illustrati in precedenza, se il campo gravitazionale agisce su una massa che risale al suo interno, rallentandola, deve agire in qualche modo anche sulla sua luce, visto che essa trasporta energia.
In effetti, la teoria della relatività generale prevede che la luce proveniente da una stella abbia una frequenza minore di quella con cui era stata emessa.
Visto che, nell’ambito della luce visibile, il rosso è il colore a cui corrisponde la frequenza minore, tale fenomeno prende il nome di spostamento verso il rosso gravitazionale.

Le onde gravitazionali

Tra le previsioni teoriche della relatività generale ve ne è una di particolare interesse: se la geometria dello spazio-tempo è determinata dalla distribuzione delle masse presenti in esso, quando tale distribuzione viene modificata (per esempio perché una di tali masse si sposta molto rapidamente) la geometria dello spazio-tempo cambia di conseguenza.
Questa variazione nella geometria non è istantanea in tutto l’Universo, ma si propaga alla velocità della luce c.

La propagazione della variazione della geometria dello spazio-tempo prende il nome di onda gravitazionale. Le onde gravitazionali interagiscono molto debolmente con la materia; per fare un esempio, un’onda gravitazionale che attraversasse il Sole perderebbe soltanto una parte su 1016 della sua energia.
Per questo la rilevazione di tali onde pone problemi fisici e tecnologici eccezionali.
D’altronde, proprio questa debole interazione con la materia rende le onde gravitazionali strumenti di grande importanza per la ricerca astronomica e cosmologica: per esempio, un’onda gravitazionale che passasse attraverso il Sole e che fosse rilevata sulla Terra potrebbe fornire una specie di “radiografia” dell’interno del sole.
Lo strumento più importante utilizzato per la misurazione di tali onde è l’antenna gravitazionale, cioè un cilindro di grande massa che può essere messo in oscillazione dal passaggio di un’onda di gravità.
Purtroppo nessun apparato sperimentale è riuscito a individuare un segnale che sia sicuramente interpretabile come il passaggio di un’onda gravitazionale. Forse la tecnologia non e ancora in grado di effettuare con successo esperimenti di questo tipo. La ragione, però, potrebbe essere un’altra: onde gravitazionali di intensità relativamente elevata sono generate da eventi molto energetici, come l’esplosione di una supernova.
La probabilità che uno di tali eventi avvenga nella zona di universo in cui si trova la Terra è piuttosto bassa. Pertanto gli scienziati sono obbligati ad attendere, affinando, nel frattempo, le proprie conoscenze e la propria tecnologia.

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Fonti

http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Sintesi/TeoriaDellaRelativita.htm