Dr. Math

Un problema:
Se il polinomio $f(x)$ si divide per $x^2-1$, si ottiene $x$ come quoziente e $x$ come resto.
a) Determinare $f(x)$;
b) Studiare la funzione $y = \frac{f(x)}{x^2-1}$ e disegnare il grafico G in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali $Oxy$, dopo aver trovato, in particolare, i suoi punti di massimo, minimo e flesso e i suoi asintoti;
c) Trovare l'equazione della retta $t$ tangente a G nel suo punto di ascissa $\frac{1}{2}$ ;
d) Determinare le coordinate dei punti comuni alla retta $t$ e alla curva G;
e) Dopo aver determinato i numeri $a, b$ tali che sussista l'identità

(1)

\begin{align} \frac{x}{x^2-1} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-1}, \end{align}

calcolare una primitiva della funzione $f(x) = \frac{f(x)}{x^2-1}$.

Esame di Stato (Liceo Scientifico, Ordinamento, SS, 2002)